什么是大數(shù)定律

大數(shù)定律是指在隨機(jī)試驗(yàn)中，每次出現(xiàn)的結(jié)果不同，但是大量重復(fù)試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果的平均值卻幾乎總是接近于某個確定的值。

其原因是，在大量的觀察試驗(yàn)中，個別的、偶然的因素影響而產(chǎn)生的差異將會相互抵消，從而使現(xiàn)象的必然規(guī)律性顯示出來。例如，觀察個別或少數(shù)家庭的嬰兒出生情況，發(fā)現(xiàn)有的生男，有的生女，沒有一定的規(guī)律性，但是通過大量的觀察就會發(fā)現(xiàn)，男嬰和女嬰占嬰兒總數(shù)的比重均會趨于50%。

大數(shù)定律的表現(xiàn)形式

定義1：設(shè)為概率空間(Ω,F,P)上定義的隨機(jī)變量序列(簡稱隨機(jī)序列)，若存在隨機(jī)變數(shù)，使對任意，恒有：

則稱隨機(jī)序列依概率收斂于隨機(jī)變量(也可以是一個常數(shù))，并用下面的符號表示：

或

定義2：設(shè)為一隨機(jī)序列，數(shù)學(xué)期望)存在，令，若0(P)，則稱隨機(jī)序列服從大數(shù)定律，或者說大數(shù)法則成立。

定義3：設(shè)Fn(x)是分布函數(shù)序列，若存在一個非降函數(shù)F(x)，對于它的每一連續(xù)點(diǎn)x，都有，則稱分布函數(shù)序列Fn(x)弱收斂于F(x)。

定義4：設(shè)分別是隨機(jī)變量及的分布函數(shù)，若，則稱依分布收斂于，亦記為，且有：(1)若，則;(2)設(shè)c為常數(shù)，則的充要條件是。

逆極限定理：設(shè)特征函數(shù)列fn(t)收斂于某一函數(shù)f(t)，且f(t)在t=0時連續(xù)，則相應(yīng)的分布函數(shù)列Fn(x)弱收斂于某一分布函數(shù)F(x)，而且f(t)是F(x)的特征函數(shù)。

大數(shù)定律有若干個表現(xiàn)形式。這里僅介紹其中常用的兩個重要定律：

(一)切貝雪夫大數(shù)定理

設(shè)是一列兩兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從同一分布，且存在有限的數(shù)學(xué)期望a和方差σ2，則對任意小的正數(shù)ε，有：

該定律的含義是：當(dāng)n很大，服從同一分布的隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)將依概率接近于這些隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

將該定律應(yīng)用于抽樣調(diào)查，就會有如下結(jié)論：隨著樣本容量n的增加，樣本平均數(shù)將接近于總體平均數(shù)。從而為統(tǒng)計推斷中依據(jù)樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)提供了理論依據(jù)。

(二)貝努里大數(shù)定律

設(shè)μn是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，且事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為P，則對任意正數(shù)ε，有：

該定律是切貝雪夫大數(shù)定律的特例，其含義是，當(dāng)n足夠大時，事件A出現(xiàn)的頻率將幾乎接近于其發(fā)生的概率，即頻率的穩(wěn)定性。

在抽樣調(diào)查中，用樣本成數(shù)去估計總體成數(shù)，其理論依據(jù)即在于此。